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Ecuaciones
https://www.youtube.com/watch?v=TDA8iqCB6hk
https://www.youtube.com/watch?v=6c1HK5y2A08
Inecuaciones
https://www.youtube.com/watch?v=LiHuRindQS4
https://www.youtube.com/watch?v=gYJiD9VQeLg
martes, 28 de marzo de 2017
Inecuaciones
Inecuaciones
Una inecuación es una expresión
matemática la cual se caracteriza por tener los signos con desigualdad
siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede tomar un valor cualquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad; a este conjunto se le conoce como intervalo
Que es una Inecuación ?
Propiedades
siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede tomar un valor cualquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad; a este conjunto se le conoce como intervalo
Que es una Inecuación ?
Propiedades
Si a los
dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número, la
inecuación resultante es equivalente a la dada.
3x + 4
< 5
3x + 4 −
4 < 5 − 4
3x < 1
Si a los
dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número
positivo, la inecuación resultante es equivalente a la dada.
2x < 6
2x : 2
< 6 : 2
x < 3
Si a los
dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número
negativo, la inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la
dada.
Ejemplo
−x < 5
(−x) ·
(−1) > 5 · (−1)
x > −5
Para
Profundizar:
las inecuaciones se rigen por las siguientes propiedades
Tricotomía
Simetría
Transitiva
Adición y Sustracción
Multiplicación y División
Propiedades de la Inecuación
la propiedad de la tricotomía dicta que:
para dos números reales cualquiera, a y b , solo se cumplirá una de las siguientes afirmaciones:
Tricotomía
Las relaciones en inecuaciones pueden ser invertidas,queriendo decir esto que:
para dos números reales, a y b :
si a > b; entonces b < a
si a < b; entonces b > a
Simetría
para tres números reales, a, b y c :
si a > b y b > c ; entonces a > c
si a < b y b < c ; entonces a < c
si a > b y b = c ; entonces a > c
Transitiva
Las propiedades relacionadas con la adicción y la sustracción :
para tres números reales, a, b, y c:
si a > b ; entonces a+c > b+c y a-c > b-c
si a < b ; entonces a+c < b+c y a-c < b-c
Adición y Sustracción
si c es positivo y a > b; entonces
a * c > b * c y a/c > b/c
si c es positivo y a < b; entonces
a * c < b * c y a/c < b/c
si c es negativo y a > b; entonces
a * c < b * c y a/c < b/c
si c es negativo y a < b ; entonces
a * c > b * c y a /c > b/c
Multiplicación y División
Si un numero es mayor que otro, no puede ser igual o menor que el.
- Si un número es igual que otro, no puede ser mayor o menor que el.
- Si un número es menor que otro, no puede ser igual o mayor que el.
De la suma: Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta un mismo numero o una
expresión algebraica se obtiene otra desigualdad del mismo sentido.
Dada la desigualdad 3 < 8, si sumamos 7 a los dos miembros se obtiene 3+7
< 8+7, otra desigualdad (en concreto) 10 < 15 del mismo sentido.
Propiedades de las Desigualdades
Del producto: Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un numero
*Mayor que cero se obtiene otra desigualdad del mismo sentido
*Menor que cero se obtiene otra desigualdad de sentido contrario.
Dada la desigualdad 3 < 8, si multiplicamos ambos miembros por 5 se obtiene
15 < 40, otra del mismo sentido
Dada la desigualdad 3 < 8, si multiplicamos ambos miembros por –6 se
obtiene –18 > –48, otra pero de sentido contrario.
Propiedades de las Inecuaciones
De la suma: Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o resta un mismo numero o una expresión algebraica se obtiene otra inecuación equivalente del mismo sentido.
Del producto: Si los dos miembros de una inecuación se multiplican o dividen por un numero
*mayor que cero se obtiene otra inecuación equivalente del mismo sentido
*menor que cero se obtiene otra inecuación equivalente a la dada pero de
sentido contrario.
En la practica las inecuaciones se resuelven igual que las ecuaciones pero teniendo en cuenta que a veces hay que cambiarla de sentido.
Se debe cambiar de sentido una inecuación cuando:
* Cambiamos todos los signos de una inecuación (Equivale a multiplicar todos por –1)
* Cuando sea negativo y utilicemos: "el que esta multiplicando pasa al otro miembro dividiendo"
* A la hora de quitar denominadores en una inecuación cuando el denominador común es negativo
Tricotomía
Simetría
Transitiva
Adición y Sustracción
Multiplicación y División
Propiedades de la Inecuación
la propiedad de la tricotomía dicta que:
para dos números reales cualquiera, a y b , solo se cumplirá una de las siguientes afirmaciones:
Tricotomía
Las relaciones en inecuaciones pueden ser invertidas,queriendo decir esto que:
para dos números reales, a y b :
si a > b; entonces b < a
si a < b; entonces b > a
Simetría
para tres números reales, a, b y c :
si a > b y b > c ; entonces a > c
si a < b y b < c ; entonces a < c
si a > b y b = c ; entonces a > c
Transitiva
Las propiedades relacionadas con la adicción y la sustracción :
para tres números reales, a, b, y c:
si a > b ; entonces a+c > b+c y a-c > b-c
si a < b ; entonces a+c < b+c y a-c < b-c
Adición y Sustracción
si c es positivo y a > b; entonces
a * c > b * c y a/c > b/c
si c es positivo y a < b; entonces
a * c < b * c y a/c < b/c
si c es negativo y a > b; entonces
a * c < b * c y a/c < b/c
si c es negativo y a < b ; entonces
a * c > b * c y a /c > b/c
Multiplicación y División
Si un numero es mayor que otro, no puede ser igual o menor que el.
- Si un número es igual que otro, no puede ser mayor o menor que el.
- Si un número es menor que otro, no puede ser igual o mayor que el.
De la suma: Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta un mismo numero o una
expresión algebraica se obtiene otra desigualdad del mismo sentido.
Dada la desigualdad 3 < 8, si sumamos 7 a los dos miembros se obtiene 3+7
< 8+7, otra desigualdad (en concreto) 10 < 15 del mismo sentido.
Propiedades de las Desigualdades
Del producto: Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un numero
*Mayor que cero se obtiene otra desigualdad del mismo sentido
*Menor que cero se obtiene otra desigualdad de sentido contrario.
Dada la desigualdad 3 < 8, si multiplicamos ambos miembros por 5 se obtiene
15 < 40, otra del mismo sentido
Dada la desigualdad 3 < 8, si multiplicamos ambos miembros por –6 se
obtiene –18 > –48, otra pero de sentido contrario.
Propiedades de las Inecuaciones
De la suma: Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o resta un mismo numero o una expresión algebraica se obtiene otra inecuación equivalente del mismo sentido.
Del producto: Si los dos miembros de una inecuación se multiplican o dividen por un numero
*mayor que cero se obtiene otra inecuación equivalente del mismo sentido
*menor que cero se obtiene otra inecuación equivalente a la dada pero de
sentido contrario.
En la practica las inecuaciones se resuelven igual que las ecuaciones pero teniendo en cuenta que a veces hay que cambiarla de sentido.
Se debe cambiar de sentido una inecuación cuando:
* Cambiamos todos los signos de una inecuación (Equivale a multiplicar todos por –1)
* Cuando sea negativo y utilicemos: "el que esta multiplicando pasa al otro miembro dividiendo"
* A la hora de quitar denominadores en una inecuación cuando el denominador común es negativo
jueves, 23 de marzo de 2017
Ecuaciones
¿Qué es una expresión algebraica
es un conjunto de letras y números separados entre si por los signos de suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Ejemplo: E = 2x2yz3 – 3xz2 + 6y. Las letras representan números y se llaman variables; los números 2, –3, 6 se llaman coeficientes.
Ejemplo: E = 2x2yz3 – 3xz2 + 6y. Las letras representan números y se llaman variables; los números 2, –3, 6 se llaman coeficientes.
Términos semejantes de una expresión algebraica
son aquellos términos que tienen las mismas letras con los mismos exponentes. Los términos semejantes se pueden sumar y restar.
Ejemplo: Dada la expresión E = 3x – 4xy2 – 6x2 + 4x. Los términos 3x y 4x son semejantes; por lo tanto se pueden sumar quedando: E = 7x – 4xy2 – 6x2
Igualdad son dos expresiones algebraicas separadas por el signo “ = “
La expresión que precede al signo "=" se llama primer miembro de la igualdad, y la que le sigue, se llama segundo miembro.
Ejemplo: La expresión 2 + 5 = 7 es una igualdad.
x + 2 = 5 es una igualdad algebraica si x = 3, y falsa para cualquier otro valor de x
Identidad es una igualdad que se verifica para cualquier valor de las variables
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 ; (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ; (a + b) (a – b) = a2 – b2 son igualdades ciertas para cualquier valor de las variables a y b. Esto se llama identidad.
Ejemplo: Dada la expresión E = 3x – 4xy2 – 6x2 + 4x. Los términos 3x y 4x son semejantes; por lo tanto se pueden sumar quedando: E = 7x – 4xy2 – 6x2
Igualdad son dos expresiones algebraicas separadas por el signo “ = “
La expresión que precede al signo "=" se llama primer miembro de la igualdad, y la que le sigue, se llama segundo miembro.
Ejemplo: La expresión 2 + 5 = 7 es una igualdad.
x + 2 = 5 es una igualdad algebraica si x = 3, y falsa para cualquier otro valor de x
Identidad es una igualdad que se verifica para cualquier valor de las variables
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 ; (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ; (a + b) (a – b) = a2 – b2 son igualdades ciertas para cualquier valor de las variables a y b. Esto se llama identidad.
Ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que solamente se verifica para determinados valores de sus letras
Las letras se llaman incógnitas y se suelen representar por las letras x, y, z, t, ...
Soluciones o raíces de la ecuación
Son los valores de las incógnitas que hacen que al sustituirlos en la ecuación, la igualdad se cumpla (sea cierta).
Resolver una ecuación
es hallar todas sus soluciones, si las tiene.
Comprobar una ecuación
Consiste en sustituir las incógnitas (variables) por las soluciones y ver si la igualdad se verifica (es cierta) o no
Ejemplo: Comprobamos que x = 2 es solución de la ecuación: 3x + 5 = 7x – 3
Valor del primer miembro para x = 2 3·2 +5 = 6 + 5 = 11
Valor del segundo miembro: 7·2 – 3 = 14 – 3 = 11
Ambos miembros toman el mismo valor 11, luego x = 2 es solución de la ecuación.
Ejemplo: Comprobamos que x = 2 es solución de la ecuación: 3x + 5 = 7x – 3
Valor del primer miembro para x = 2 3·2 +5 = 6 + 5 = 11
Valor del segundo miembro: 7·2 – 3 = 14 – 3 = 11
Ambos miembros toman el mismo valor 11, luego x = 2 es solución de la ecuación.
Grado de una ecuación
es el mayor exponente que tienen sus incógnitas, una vez se haya operado hasta que no existan en la igualdad paréntesis, ni denominadores.
Ejemplo: 5x – 4y = 7 es una ecuación de primer grado (grado uno) con dos incógnitas, x e y.
(x – 2)·(x + 3) = 5 => Para verlo quitamos paréntesis : x2 + 3x – 2x – 6 = x2+ x – 6; por tanto es una ecuación con una incógnita y de segundo grado.
Ejemplo: 5x – 4y = 7 es una ecuación de primer grado (grado uno) con dos incógnitas, x e y.
(x – 2)·(x + 3) = 5 => Para verlo quitamos paréntesis : x2 + 3x – 2x – 6 = x2+ x – 6; por tanto es una ecuación con una incógnita y de segundo grado.
Dos o más ecuaciones son equivalentes
cuando tienen la misma solución.
Ejemplo: Las ecuaciones siguientes son equivalentes:
a) 4x – 2 = 2x
b) 3x +1= x + 3 ya que ambas tienen por solución x = 1.
Ejemplo: Las ecuaciones siguientes son equivalentes:
a) 4x – 2 = 2x
b) 3x +1= x + 3 ya que ambas tienen por solución x = 1.
Clasificación de las ecuaciones:
Por la variable:
- Enteras. La variable está sumando, restando o multiplicando 3x + 4 = 1
- Racionales: Alguna incógnita aparece en el denominador:
- Irracionales. Cuando ninguna incógnita aparece debajo del signo radical:
- Exponenciales, logarítmicas y trigonométricas
Por el número de incógnitas:
- De una incógnita: 2x + 3 = 5x – 6
- De dos incógnitas: 3x – 2y = 15
- De tres incógnitas: 2x – y + 5z = 5
- De n incógnitas (en general)
Por el grado:
- Ecuaciones de primer grado o lineales. Cuando el mayor exponente con el que figura cualquier incógnita es uno: 3x – 2 = 7
- Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas. Cuando el mayor exponente con que figura cualquier incógnita es dos: 2x2 + 3x – 5 = 0
- Ecuaciones de grado n (en general): x5 + 2x2 – 3x + 1 = 0 sería de grado 5
Por el número de soluciones:
- Compatibles. Aquellas ecuaciones que tienen solución: Se dividen a su vez en:
- Compatibles determinadas. Si tienen un número finito de soluciones.
x –2 = 0. Su solución es única, x = 2.
x2 – 9 = 0. Tiene dos soluciones, x = 3 y x = – 3.
x2 – 9 = 0. Tiene dos soluciones, x = 3 y x = – 3.
- Compatibles indeterminadas. Si tienen infinitas soluciones.
x + 2 = y. Tiene infinitas soluciones.
- Incompatibles. Aquellas ecuaciones que no tienen solución: 2x – 1 = 2x + 3
Propiedades de las ecuaciones:
- Si a los dos miembros de una ecuación sumas o restas un mismo número o expresión, se obtienes otra ecuación equivalente a la dada.
De esta propiedad se deduce:
En una ecuación puedes pasar un sumando de un miembro a otro cambiándolo de signo (se llama transposición de términos). Por ejemplo, 6x – 8 = 4 => 6x = 4 + 8 => 6x = 12
Cuando en los dos miembros de una ecuación aparecen términos iguales y con el mismo signo, se pueden suprimir. Por ejemplo, 3x +2 – 5 = 4x – 5 <=> 3x + 2 = 4x
- Si multiplicas o divides los dos miembros de una ecuación por un mismo número o expresión distinta de cero, obtienes otra ecuación equivalente.
De la cual se deduce:
Para quitar los denominadores de una ecuación multiplica ambos miembros por el m.c.m. de todos los denominadores; obtendrás así otra ecuación equivalente sin denominadores.
En una ecuación puedes pasar un término que está multiplicando al otro miembro dividiendo y viceversa.
Para quitar los denominadores de una ecuación multiplica ambos miembros por el m.c.m. de todos los denominadores; obtendrás así otra ecuación equivalente sin denominadores.
En una ecuación puedes pasar un término que está multiplicando al otro miembro dividiendo y viceversa.
Propiedades de las ecuaciones
El axioma fundamental de las ecuaciones es que una ecuación se transforma en otra equivalente cuando se ejecutan operaciones elementales iguales en ambos miembros.
Es decir
- Si a los dos miembros de una ecuación se les suma una misma cantidad positiva o negativa, la igualdad subsiste.
- Si a los dos miembros de una ecuación se les resta una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
- Si a los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
- Si a los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
Al exponer las propiedades de la igualdad en su forma general, para cualesquiera de los números reales a, b y c.
Si a = b entonces a+c = b+c
Si a = b entonces a-c = b-c
Si a = b entonces ac = bc
Si a = b entonces a/c = b/c siempre que c≠0
Transponer términos consiste en cambiar los términos de una ecuación de un miembro a otro. Consideremos la ecuación 3x-2 = x+6
Para transponer el término -2 del primer miembro al segundo añadimos 2 a ambos miebros y resulta 3x-2 +2= x+6+2.
Es decir 3x = x+8
En ocasiones se trasponen al primer miembro todos los términos de una ecuación y, en ese caso, el segundo miembro es cero. Así, en la ecuación 3x-2 = x+6 tendríamos
3x-2-6 = x+6-6
O sea 3x-8 = x
Añadiendo –x a ambos miembros resultaría: 3x-8-x = x-x
Es decir, 2x-8 = 0
Como consecuencia de lo anteriormente expuesto, resulta obvio que términos iguales con signos iguales en distinto miembro de una ecuación puedan suprimirse.
Los signos de todos los términos de una ecuación se pueden cambiar sin que una ecuación varíe, puesto que esto equivale a multiplicar ambos miembros de la multiplicación por -1, por lo cual la igualdad no varía.
Así, por ejemplo, si consideramos la ecuación 2x+1 = x-2 y multiplicamos ambos miembros por -1 obtendremos. -2x-1 = --x +2, que es la ecuación inicial con todos los signos cambiados.
Para quitar los denominadores de una ecuación, basta con multiplicar sus dos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores.
Así, por ejemplo, si consideramos la ecuación 
, para eliminar los denominadores multiplicaremos ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, o sea por 8, tendremos: 
, para eliminar los denominadores multiplicaremos ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, o sea por 8, tendremos:
O sea 2x -16 = 3x que es una ecuación equivalente a la inicial y en la cual no aparecen los denominadores.
Si se eleva a una misma potencia los dos miembros de una ecuación, la ecuación resultante tiene, generalmente, más soluciones que la ecuación inicial. En este caso se prescinde de aquellas soluciones que no satisfacen la primera ecuación..
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