Inecuaciones

Inecuaciones

Una inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los signos con desigualdad


siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede tomar un valor cualquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad; a este conjunto se le conoce como intervalo
Que es una Inecuación ?

Propiedades

Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número, la inecuación resultante es equivalente a la dada.

3x + 4 < 5

3x + 4 − 4 < 5 − 4

3x < 1

Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la inecuación resultante es equivalente a la dada.

2x < 6

2x : 2 < 6 : 2

x < 3

Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo, la inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.

Ejemplo

 −x < 5

(−x) · (−1) > 5 · (−1)

x > −5

Para Profundizar:

las inecuaciones se rigen por las siguientes propiedades


Tricotomía
Simetría
Transitiva
Adición y Sustracción
Multiplicación y División
Propiedades de la Inecuación
la propiedad de la tricotomía dicta que:
para dos números reales cualquiera, a y b , solo se cumplirá una de las siguientes afirmaciones:
Tricotomía
Las relaciones en inecuaciones pueden ser invertidas,queriendo decir esto que:

para dos números reales, a y b :

si a > b; entonces b < a
si a < b; entonces b > a


Simetría
para tres números reales, a, b y c :

si a > b y b > c ; entonces a > c
si a < b y b < c ; entonces a < c
si a > b y b = c ; entonces a > c
Transitiva
Las propiedades relacionadas con la adicción y la sustracción :
para tres números reales, a, b, y c:



si a > b ; entonces a+c > b+c y a-c > b-c
si a < b ; entonces a+c < b+c y a-c < b-c

Adición y Sustracción
si c es positivo y a > b; entonces
a * c > b * c y a/c > b/c
si c es positivo y a < b; entonces
a * c < b * c y a/c < b/c
si c es negativo y a > b; entonces
a * c < b * c y a/c < b/c
si c es negativo y a < b ; entonces
a * c > b * c y a /c > b/c
Multiplicación y División

Si un numero es mayor que otro, no puede ser igual o menor que el.
- Si un número es igual que otro, no puede ser mayor o menor que el.
- Si un número es menor que otro, no puede ser igual o mayor que el.


De la suma: Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta un mismo numero o una
expresión algebraica se obtiene otra desigualdad del mismo sentido.
Dada la desigualdad 3 < 8, si sumamos 7 a los dos miembros se obtiene 3+7
< 8+7, otra desigualdad (en concreto) 10 < 15 del mismo sentido.

Propiedades de las Desigualdades
Del producto: Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un numero

*Mayor que cero se obtiene otra desigualdad del mismo sentido

*Menor que cero se obtiene otra desigualdad de sentido contrario.

Dada la desigualdad 3 < 8, si multiplicamos ambos miembros por 5 se obtiene
15 < 40, otra del mismo sentido

Dada la desigualdad 3 < 8, si multiplicamos ambos miembros por –6 se
obtiene –18 > –48, otra pero de sentido contrario.


Propiedades de las Inecuaciones
De la suma: Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o resta un mismo numero o una expresión algebraica se obtiene otra inecuación equivalente del mismo sentido.

Del producto: Si los dos miembros de una inecuación se multiplican o dividen por un numero
*mayor que cero se obtiene otra inecuación equivalente del mismo sentido

*menor que cero se obtiene otra inecuación equivalente a la dada pero de
sentido contrario.

En la practica las inecuaciones se resuelven igual que las ecuaciones pero teniendo en cuenta que a veces hay que cambiarla de sentido.
Se debe cambiar de sentido una inecuación cuando:

* Cambiamos todos los signos de una inecuación (Equivale a multiplicar todos por –1)

* Cuando sea negativo y utilicemos: "el que esta multiplicando pasa al otro miembro dividiendo"

* A la hora de quitar denominadores en una inecuación cuando el denominador común es negativo