Ecuaciones

¿Qué es una expresión algebraica

es un conjunto de letras y números separados entre si por los signos de suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Ejemplo: E = 2x²yz³ – 3xz² + 6y.  Las letras representan números y se llaman variables; los números  2, –3, 6 se llaman coeficientes.

Términos semejantes de una expresión algebraica

son aquellos términos que tienen las mismas letras con los mismos exponentes. Los términos semejantes se pueden sumar y restar.

Ejemplo: Dada la expresión  E = 3x – 4xy² – 6x² + 4x. Los términos  3x  y  4x  son semejantes; por lo tanto se pueden sumar quedando:  E = 7x – 4xy² – 6x²

Igualdad son dos expresiones algebraicas separadas por el signo  “ = “
La expresión que precede al signo "=" se llama primer miembro de la igualdad, y la que le sigue, se llama segundo miembro.

Ejemplo: La expresión  2 + 5 = 7  es una igualdad.
x + 2 =  5 es una igualdad algebraica si  x = 3,  y falsa para cualquier otro valor de  x

Identidad  es una igualdad que se verifica  para cualquier valor de las variables 
(a – b)² = a² – 2ab + b² ; (a + b)² = a² + 2ab + b² ; (a + b) (a – b) = a² – b²   son  igualdades ciertas para cualquier valor de las variables  a  y  b. Esto se llama identidad.

Ecuación  es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que solamente se verifica para determinados valores de sus  letras
Las letras se llaman incógnitas y se suelen representar por  las letras   x, y, z, t, ...

Soluciones o raíces de la ecuación

Son  los valores de las incógnitas que hacen que al sustituirlos en la ecuación, la igualdad se cumpla (sea cierta).

Resolver una ecuación

                                                    es hallar todas  sus soluciones, si las tiene.

Comprobar una ecuación 

Consiste en sustituir las incógnitas (variables) por las soluciones y ver si la igualdad se verifica (es cierta) o no

Ejemplo: Comprobamos que x = 2 es solución de la ecuación:  3x + 5 = 7x – 3
Valor del primer miembro para  x = 2        3·2 +5 = 6 + 5 = 11
Valor del segundo miembro:  7·2 – 3 = 14 – 3 = 11
Ambos miembros toman el mismo valor  11, luego x = 2 es solución de la ecuación.

Grado de una ecuación 

                                                    es el mayor exponente que tienen sus incógnitas, una vez se haya  operado hasta que no existan en la igualdad paréntesis, ni denominadores.

Ejemplo: 5x – 4y = 7  es una ecuación de primer grado (grado uno) con dos incógnitas, x e y.
(x – 2)·(x + 3) = 5  => Para verlo  quitamos paréntesis :   x² + 3x – 2x – 6 = x²+ x – 6; por tanto es una  ecuación con una incógnita y de segundo grado.

Dos o más ecuaciones son equivalentes

cuando tienen la misma solución.

Ejemplo:  Las ecuaciones siguientes son equivalentes:
a) 4x – 2 = 2x
b) 3x +1= x + 3    ya que ambas tienen por solución x = 1.

Clasificación de las ecuaciones:

Por la variable:

• Enteras. La variable  está sumando, restando o multiplicando  3x + 4 = 1

• Racionales: Alguna incógnita aparece en el denominador:  

• Irracionales. Cuando ninguna incógnita aparece debajo del signo radical:

• Exponenciales, logarítmicas y trigonométricas

Por el número de incógnitas:

• De una incógnita: 2x + 3 = 5x – 6

• De dos incógnitas: 3x – 2y = 15

• De tres incógnitas: 2x – y + 5z = 5

• De n incógnitas (en general)

Por el grado:

• Ecuaciones de primer grado o lineales. Cuando el mayor exponente con el que figura cualquier incógnita es uno: 3x – 2 = 7

• Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas. Cuando el mayor exponente con que figura cualquier incógnita es dos: 2x²  + 3x – 5 = 0

• Ecuaciones de grado n (en general): x⁵ + 2x² – 3x + 1 = 0   sería de grado   5

Por el número de soluciones:

• Compatibles. Aquellas ecuaciones que tienen solución: Se dividen a su vez en:

                   -  Compatibles determinadas. Si tienen un número finito de soluciones.

                          x –2 = 0. Su solución es única, x = 2.
                          x² – 9 = 0. Tiene dos soluciones, x = 3   y   x = – 3.

                   -  Compatibles indeterminadas. Si tienen infinitas soluciones.

                         x + 2 = y. Tiene infinitas soluciones.

• Incompatibles. Aquellas ecuaciones que no tienen solución: 2x – 1 = 2x + 3

    
Propiedades de las ecuaciones:

- Si a los dos miembros de una ecuación sumas o restas un mismo número o expresión, se obtienes otra ecuación equiva­lente a la dada.

De esta propiedad se deduce:
En una ecuación puedes pasar un sumando de un miembro a otro cambiándolo de signo (se llama transposición de términos). Por ejemplo, 6x – 8 = 4 => 6x = 4 + 8  => 6x = 12
Cuando en los dos miembros de una ecuación aparecen términos iguales y con el mismo signo, se pueden suprimir. Por ejemplo, 3x +2 – 5 = 4x – 5 <=> 3x + 2 = 4x

- Si multiplicas o divides los dos miembros de una ecuación por un mismo número o expresión distinta de cero, obtienes otra ecuación equivalente.

De la cual se deduce:
Para quitar los denominadores de una ecuación multiplica ambos miembros por el m.c.m.  de todos los denominadores; obtendrás así otra ecuación equivalente sin denominadores.
En una ecuación puedes pasar un término que está multiplicando al otro miembro dividiendo  y viceversa.

 Propiedades de las ecuaciones

El axioma fundamental de las ecuaciones es que una ecuación se transforma en otra equivalente cuando se ejecutan operaciones elementales iguales en ambos miembros.

Es decir

• Si a los dos miembros de una ecuación se les suma una misma cantidad positiva o negativa, la igualdad subsiste.
• Si a los dos miembros de una ecuación se les resta una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
• Si a los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
• Si a los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.

Al exponer las propiedades de la igualdad en su forma general, para cualesquiera de los números reales a, b y c.

Si a = b entonces       a+c = b+c

Si a = b entonces       a-c = b-c

Si a = b entonces       ac = bc

Si a = b entonces       a/c = b/c  siempre que c≠0

Transponer términos consiste en cambiar los términos de una ecuación de un miembro a otro. Consideremos la ecuación 3x-2 = x+6

Para transponer el término -2 del primer miembro al segundo añadimos 2 a ambos miebros y resulta 3x-2 +2= x+6+2.

Es decir 3x = x+8

En ocasiones se trasponen al primer miembro todos los términos de una ecuación y, en ese caso, el segundo miembro es cero. Así, en la ecuación 3x-2 = x+6 tendríamos

3x-2-6 = x+6-6

O sea 3x-8 = x

Añadiendo –x a ambos miembros resultaría: 3x-8-x = x-x

Es decir, 2x-8 = 0

Como consecuencia de lo anteriormente expuesto, resulta obvio que términos iguales con signos iguales en distinto miembro de una ecuación puedan suprimirse.

Los signos de todos los términos de una ecuación se pueden cambiar sin que una ecuación varíe, puesto que esto equivale a multiplicar ambos miembros de la multiplicación por -1, por lo cual la igualdad no varía.

Así, por ejemplo, si consideramos la ecuación 2x+1 = x-2 y multiplicamos ambos miembros por -1 obtendremos. -2x-1 = --x +2, que es la ecuación inicial con todos los signos cambiados.

Para quitar los denominadores de una ecuación, basta con multiplicar sus dos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Así, por ejemplo, si consideramos la ecuación , para eliminar los denominadores multiplicaremos ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, o sea por 8, tendremos: 

O sea 2x -16 = 3x que es una ecuación equivalente a la inicial y en la cual no aparecen los denominadores.

Si se eleva a una misma potencia los dos miembros de una ecuación, la ecuación resultante tiene, generalmente, más soluciones que la ecuación inicial. En este caso se prescinde de aquellas soluciones que no satisfacen la primera ecuación..